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Nov 01, 2023

Experimentelle Demonstration der klassischen analogen Zeit

Scientific Reports Band 12, Artikelnummer: 22580 (2022) Diesen Artikel zitieren 2568 Zugriff auf 10 altmetrische Metrikdetails Eines der quantentheoretischen Konzepte, auf denen die Quanteninformationsverarbeitung basiert

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 22580 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Eines der quantentheoretischen Konzepte, auf denen die Quanteninformationsverarbeitung basiert, ist die Überlagerung. Hier liefern wir experimentelle Beweise für die Existenz klassischer Analoga zur kohärenten Überlagerung von Energiezuständen, die durch die Nichtlinearität des Granulats vom Hertz-Typ zusammen mit dem externen Antriebsfeld ermöglicht wird. Die nichtlinearen Schwingungen des Granulats werden in die linearen Schwingungsmoden projiziert, die über die Phase voneinander abhängen und eine kohärente Überlagerung bilden. Wir zeigen, dass die Amplituden der kohärenten Zustände die Komponenten eines Zustandsvektors bilden, der einen zweidimensionalen Hilbert-Raum aufspannt, und dass die Zeit es dem System ermöglicht, seinen Hilbert-Raum parametrisch aufzuspannen. Somit kann die Überlagerung von Zuständen in quantenähnlichen Berechnungen mit zwei Zuständen ohne Dekohärenz und Wellenfunktionskollaps ausgenutzt werden. Abschließend demonstrieren wir die experimentelle Realisierung der Anwendung eines reversiblen Hadamard-Gatters auf einen reinen Grundzustand, der den Zustand in eine Überlagerung bringt.

Die gestiegene Nachfrage nach Quanteninformationswissenschaft (QIS) und Quantencomputing1,2,3,4,5 erfordert eine genauere Analyse des Themas und seiner Methoden. Ein Quantenbit (Qubit) ist die wesentliche Komponente von QIS und ein quantenmechanisches System mit zwei Zuständen, das, was am wichtigsten ist, in Überlagerung existieren kann. Ein neuer, eigenständiger Zustand mit spezifischen quantitativen Verbindungen zu den ersten beiden gegebenen Zuständen wird als Überlagerung der beiden ersteren bezeichnet. Neben der Überlagerung von Zuständen ist es auch die Fähigkeit von Qubits, durch Verschränkung zwischen den Subsystemen zu korrelieren, was Qubits für die Informationsverarbeitung so leistungsfähig macht. Aufgrund der schnellen Fähigkeit der Umgebung, die empfindliche Kohärenz dieser Zustände zu zerstören, ist es jedoch schwierig, zunächst vorbereitete quantenüberlagerte Zustände zu erzeugen und zu beobachten. Infolgedessen weisen Teilchen und einige mikroskopische Objekte, die auf eine Temperatur nahe dem absoluten Nullpunkt abgekühlt wurden6,7,8, eine solche Quantenüberlagerung auf9,10. Andererseits nutzt das topologische Quantencomputing (TPC), bei dem es nur auf die topologischen Eigenschaften der Teilchenweltlinien auf makroskopischer Skala ankommt, nichtabelsche Materieformen zur Speicherung von Quanteninformationen, um ein robusteres Qubit zu konstruieren 11. 12. Laut Frolovs Kommentar in Nature 13 untergräbt der Majorana-Teilchenstreit jedoch das Vertrauen des TPC-Feldes, da es sehr schwierig ist, ein topologisches Qubit zu erzeugen. Folglich wurde die Erforschung von Überlagerungen anderer makroskopischer Zustände oder makroskopischer Überlagerungszustände intensiviert in den letzten Jahrzehnten aktiv verfolgt und erfolgreich experimentell in einer Vielzahl von Systemen demonstriert, darunter gefangene Ionen14, Bose-Einstein-Kondensate15,16 und Atomsysteme17. Darüber hinaus wurde auch die makroskopische Quantenüberlagerung in einem Qubit-Oszillator-System untersucht, indem das Qubit monochromatisch angetrieben wurde18 oder die Zwei-Phononen-Wechselwirkung zwischen einem mechanischen Oszillator und einem Spin-Qubit19 erfasst wurde. Erst kürzlich haben Wood et al. schlugen eine Plattform zur Erzeugung makroskopischer Überlagerungen und einen Plan zur Platzierung eines Diamanten mit 250 nm Durchmesser in einer Überlagerung vor, um die makroskopischen Grenzen der Quantenmechanik zu untersuchen20.

Zusätzliche Perspektiven für QIS- und Quantenmechanikanwendungen sowie technologische Fortschritte ergeben sich durch die Etablierung akustischer Analoga von Quantenphänomenen21. Ein bemerkenswertes Beispiel ist das lineare elastische Feld, von dem theoretisch und experimentell gezeigt wurde, dass es kohärente Überlagerungen klassischer harmonischer Wellen erzeugt, die den Spinzuständen in der Quantenmechanik analog sind22. Um echte quantenähnliche Phänomene beobachten zu können, ist jedoch die Nichtlinearität des mechanischen Systems notwendig. Ein solches Beispiel ist die Erzeugung mechanischer nicht-Gaußscher Zustände mit einer negativen Wigner-Funktion. Es wurde vorgeschlagen, dass Dissipation23,24,25,26, Quantentunneln mit einem optomechanischen Doppeltopfpotential27,28, periodisches Qubit-Flipping29, Quanteninterferenzeffekte30, bedingte Messung des optischen Feldes31,32,33 und modulierte Photonensprung-Wechselwirkung zwischen beiden Hohlräume in einem optomechanischen System34,35 können makroskopische nicht-Gaußsche Überlagerungszustände erzeugen. Diese Methoden basieren auf der nichtlinearen Wechselwirkung zwischen optischen und mechanischen Freiheitsgraden. In die gleiche Richtung wurde in Lit. 36 eine experimentelle Erzeugung des makroskopischen Überlagerungszustands durch die Nichtlinearität vom Kerr-Typ durch Variation der Amplitude des Antriebsfelds ermöglicht. Unseres Wissens wurde jedoch keine vergleichbare Arbeit in nichtlinearen klassischen elastischen Systemen durchgeführt, in denen Nichtlinearität ausgenutzt wurde, um eine Überlagerung von Zuständen zu erzeugen. Ein elastisches Bit in einem nichtlinearen klassischen System kann eine Überlagerung von Zuständen erzeugen, die bei Umgebungstemperatur stabil und dekohärenzfrei ist. Da es sich außerdem um eine tatsächliche Amplitude und nicht um eine Wahrscheinlichkeitsamplitude handelt, kann es direkt gemessen werden, ohne dass ein Zusammenbruch der Wellenfunktion vorliegt. Diese Eigenschaften ermöglichen die experimentelle Realisierung eines elastischen Bits und bieten eine revolutionäre neue Möglichkeit, einige der Ziele der Quanteninformationstechnologie mithilfe materialbasierter Quantenanaloge zu erreichen. Ziel der vorliegenden Studie ist es, experimentell die Möglichkeit zu demonstrieren, akustische Analoga von Überlagerungszuständen in einem nichtlinearen akustischen Granulatmedium herzustellen und die Überlagerung von Bloch-Zuständen zu manipulieren. Genauer gesagt, indem wir ein nichtlineares System, das aus zwei kugelförmigen Körnern besteht, harmonisch ansteuern, zeigen wir experimentell, dass die nichtlinearen Normalmoden auf einer linearen Normalmode-Orthonormalbasis mit zeitabhängigen Amplituden ausgedrückt werden können. Diese Amplituden bilden die Komponenten eines Zustandsvektors, der einen zweidimensionalen (2D) Hilbert-Raum parametrisch mit der Zeit aufspannt. Somit dienen sie als Analoga der Qubit-ähnlichen zeitabhängigen kohärenten Überlagerungen von Zuständen. Darüber hinaus zeigen wir experimentell, dass die Frequenz und Amplitude der externen Treiber, die auf das nichtlineare System angewendet werden, wesentliche Faktoren bei der Navigation durch die elastische Bloch-Kugel sind. Da das betrachtete System nichtlinear ist, zeigen wir experimentell, dass die Zeit die parametrische Untersuchung der Überlagerung von Bloch-Zuständen ermöglicht.

Um die klassische analoge Überlagerung von Zuständen mithilfe eines nichtlinearen Mediums vorzubereiten und zu steuern, haben wir eine experimentelle Vorrichtung entworfen, die aus einem eindimensionalen (1D) System aus zwei homogenen kugelförmigen elastischen Körnchen unter äußerer harmonischer Belastung besteht (Einzelheiten finden Sie im Abschnitt „Methoden“) ). Um den Fehler in den experimentellen Ergebnissen zu minimieren, zeichnet das Oszilloskop die Antwortsignale auf und mittelt sie über 256 Mal. Darüber hinaus reduziert das weiche Kunststoffmaterial der Schraubstockbacke, die die Wandler hält, die Vibrationsübertragung auf die unterstützenden Versuchsaufbauten. Darüber hinaus wurde die Mitte-zu-Mitte-Ausrichtung der Massen und Wandler mit menschlicher Präzision gewährleistet. Schließlich haben wir dafür gesorgt, dass das Experiment über einen kurzen Zeitraum durchgeführt wurde, um zu vermeiden, dass das Koppelmittel mit Feuchtigkeit und Staubpartikeln verunreinigt wird, was sich auf die Dämpfungseigenschaft auswirken könnte.

Um verschiedene nichtlineare Reaktionen in einem solchen gedämpften, im Wesentlichen nichtlinearen granularen System experimentell zu beobachten, legen wir die Amplituden externer Anregungen fest, indem wir die Spitze-zu-Spitze-Spannung anpassen. Die Frequenz des externen Treibers (\({\omega }_{D}\)) variiert jedoch von \(100 \mathrm{Hz}\) bis \(20 \mathrm{kHz}\) mit einem Inkrement von \(10 \mathrm{Hz}\) mit einer Ruhephase zum Erreichen eines stationären Zustands. Für verschiedene Kombinationen von Fahrbedingungen (Frequenz und Amplitude) erhalten wir experimentell Abb. 1a, die die Zeitreihe der Übertragungsamplituden zeigt, die von den Erkennungswandlern jedes Körnchens im stationären Zustand aufgezeichnet werden. Das Übertragungsamplitudenfeld in Abb. 1a ist die Fourier-Summe der linearen und nichtlinearen Moden mit jeweils ihrer charakteristischen Frequenz. Dies wird in Abb. 1b durch die zeitliche Fourier-Transformation (fft) der Amplitude des Granulats deutlich. Um die dominanten charakteristischen Frequenzen im System zu identifizieren, legen wir einen Schwellenwert von 1 % der maximalen Amplitude fest, um Rauschen zu eliminieren (gestrichelte Linie in Abb. 1b). Darüber hinaus berechnen wir die Phasendifferenz zwischen den Körnern für jede dominante charakteristische Frequenz. Zum Beispiel sehen wir im linken Feld von Abb. 1c, dass für die niedrigste dominante charakteristische Frequenz von \(\omega ={\omega }_{D}=9,85 \mathrm{kHz}\), entsprechend der Antriebsfrequenz, die Die Phasendifferenz zwischen den Körnern liegt nahe bei Null. Dies impliziert, dass bei der charakteristischen Frequenz \(\omega ={\omega }_{D}=9,85 \mathrm{kHz}\) das Amplitudenfeld des Granulatsystems durch den Zustand beschrieben werden kann: \({E} _{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\). Im Gegenteil, wenn wir die Antriebsfrequenz auf \({\omega }_{D}=9,05 \mathrm{kHz};\) ändern, ist bei der niedrigsten dominanten charakteristischen Frequenz \(\omega ={\omega } _{D}=9,05 \mathrm{kHz}\), sehen wir in Abb. 1c rechts, dass die Phasendifferenz zwischen den Körnchen nahe bei \(\pi\) liegt. Daher kann das Amplitudenfeld bei dieser charakteristischen Frequenz durch den Zustand beschrieben werden: \({E}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\end{array}\right)\). Als nächstes beobachten wir bei der zweiten und dritten höheren Harmonischen, \(2{\omega }_{D}\) und \(3{\omega }_{D}\), in Abb. 1c links und rechts, dass die Die Phasendifferenz zwischen Körnchen ist weder 0 noch \(\pi\), und daher können die Zustände durch eine Kombination von \({E}_{1}\) und \({E}_{2}\) beschrieben werden.

Messung und Abstimmbarkeit des klassischen Analogons zur Überlagerung von Zuständen. (a) Amplitude versus Zeit, aufgezeichnet von den Erkennungswandlern jedes Granulats im stationären Zustand, was reichhaltige nichtlineare Reaktionen des Systems offenbart. Linkes Feld: Antriebsfrequenz \({\omega }_{D}=9,85 \mathrm{kHz}\) und Antriebsamplitude \(100 {V}_{pp}\); Rechtes Feld: Antriebsfrequenz \({\omega }_{D}=9,05 \mathrm{kHz}\) und Antriebsamplitude \(100 {V}_{pp}\). (b) zeitliche Fourier-Transformation der Körnchenamplituden und (c) Phasenunterschiede zwischen Körnchen; Aufdecken der Kombinationen von \({E}_{1}\)- und \({E}_{2}\)-Eigenzuständen, die jeder charakteristischen Frequenz zugeordnet sind. In (b) zeigt die gestrichelte horizontale Linie die Amplitudenschwelle für die Auswahl dominanter charakteristischer Frequenzen an. (d) Zeitliche Entwicklung der Module der komplexen Amplituden, \(\widetilde{\alpha }\left(t\right)\) und \(\widetilde{\beta }\left(t\right)\), von zwei zueinander orthogonale Zustände \(\left|{E}_{1}\right.\rangle\) und \(\left|{E}_{2}\right.\rangle\). In (d) entsprechen die mit (i), (ii) und (iii) bezeichneten vertikalen Linien drei verschiedenen Zeitpunkten: \(\left(\mathrm{i}\right)={t}_{1}, \left(\mathrm{ii}\right)={t}_{2},\mathrm{and} \left(\mathrm{iii}\right)={t}_{3},\) wobei \( {t}_{3}>{t}_{2}>{t}_{1}\).

Die \({E}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\) und \ ({E}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\) Zustände sind die entsprechende Inphase- und Out-of-Phase-Eigenmoden des linearisierten granularen Systems (Details finden Sie im Abschnitt „Methoden“). Es wird betont, dass, auch wenn nichtlineare Moden keine Orthogonalitätseigenschaften besitzen (wie dies bei den linearen Normalmoden der Fall ist) 37,38,39 die Kombinationen von \({E}_{1}\) und \({E}_{2 }\) bilden eine vollständige Orthonormalbasis für das Zweimassen-Granulatsystem. Daher können wir eine Basis für die Zustände des granularen Systems in der Form \({E}_{1}\) und \({E}_{2}\) bilden. Auf dieser Grundlage kann das Amplitudenfeld für jede spezifische charakteristische Frequenz \(\omega,\) wie folgt geschrieben werden:

Dabei sind \({C}_{{u}_{1}},{C}_{{u}_{2}}\) die Amplituden und \({\varphi }_{{u}_{ 1}},{\varphi }_{{u}_{2}}\) sind die absoluten Phasen der Granulatamplituden bei der spezifischen charakteristischen Frequenz \(\omega\). Durch die erkennenden Wandler, \({C}_{{u}_{1}},{C}_{{u}_{2}},{\varphi }_{{u}_{1}}, \) und \({\varphi }_{{u}_{2}}\) sind experimentell messbare Größen (Abb. 1b,c). Hier ist \({E}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\) und \({E}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\) bilden a vollständige orthogonale Basis für das System. Darüber hinaus sind die Amplituden \(\alpha\) und \(\beta\) komplexe Größen, da die Vereinfachung von Gl. (1) finden wir

Unter Verwendung von Gl. (2) können wir die Amplitudenkoeffizienten \({E}_{1}\) und \({E}_{2}\) berechnen. Daher gilt, ähnlich wie bei einem Quantensystem, nach der Normalisierung Gl. (1) kann ein Einheitsvektor verwendet werden, um den Zustand des granularen Systems in einem komplexen Vektorraum zu beschreiben, der als Zustandsraum oder Hilbert-Raum bekannt ist. Darüber hinaus sind die Vektoren \({E}_{1}\) und \({E}_{2}\) zwei zueinander orthogonale Eigenzustände des Systems und bilden daher eine Orthonormalbasis für einen 2D-Hilbert-Raum. Daher verwenden wir in Analogie zu einem Quantensystem die Dirac-Notation für Vektoren und wenden sie auf die elastischen Zustände des Systems an, indem wir Vektoren im Zustandsraum wie folgt schreiben:

wobei \({\phi }_{\alpha }={\mathrm{tan}}^{-1}\left(\frac{\eta \omega }{m{\omega }_{1}^{2} -{m\omega }^{2}}\right)\) und \({\phi }_{\beta }={\mathrm{tan}}^{-1}\left(\frac{\eta \ omega }{m{\omega }_{2}^{2}-{m\omega }^{2}}\right);\) \(m\) ist die Masse des Granulats, \(\eta\ ) ist die Systemdämpfung und \({\omega }_{1}\) und \({\omega }_{2}\) sind die Eigenfrequenzen der Inphase- und Out-of-Phase-Moden der Eigenvektoren des linearisierten granularen Systems (Einzelheiten finden Sie im Abschnitt „Methoden“). Die Schwingungen des Granulats werden durch Gl. dargestellt. (3) projiziert in die beiden möglichen Schwingungsmoden. Die Komponenten von Gl. (3) sind über die Phase voneinander abhängig und bilden eine kohärente Überlagerung von Zuständen im Raum zweier möglicher Schwingungsformen; da gleichphasige \(\left({E}_{1}\right)\) und phasenverschobene \(\left({E}_{2}\right)\) Schwingungsmodi physikalisch unabhängig voneinander unterscheidbar sind Zustände. Darüber hinaus sind die Komponenten von Gl. (3) entsprechen physikalisch überlagerten Zuständen, also den Eigenschaften eines reinen Inphase-Eigenzustands für \({\phi }_{\beta }-{\phi }_{A}=0\) und den Eigenschaften von a reiner phasenverschobener Eigenzustand für \({\phi }_{\beta }-{\phi }_{A}=\pi\). Im Gegensatz zu klassischen gemischten Zuständen oder klassischen nicht trennbaren Kombinationen von Longitudinal- und Torsions-/Schermoden ist die Überlagerung von Zuständen nach Gl. (3) ist über die Phase hinweg kohärent. Wir haben kohärente Zustände als Zustände definiert, die ihre Überlagerungscharakteristik beibehalten, sodass die Eigenzustände \({E}_{1}\) und \({E}_{2}\) eine konstante Phase haben und für einen gegebenen Zustand Interferenz aufweisen Zeitmoment. Darüber hinaus bleibt der kohärente Zustand im Laufe der Zeit kohärent, aber seine Phasenbeziehung entwickelt sich mit der Zeit. Die Überlagerung der Zustände von Gl. (3) unterscheidet sich auch von den Problemen, die in eine Klasse fallen, die klassischerweise nicht trennbar ist, wobei die Nichttrennbarkeit von Medienecken und Risskanten herrührt40.

Daher kann das gesamte Verschiebungsamplitudenfeld des nichtlinearen Granulatsystems (Abb. 1a) als lineare Kombination geschrieben werden:

wobei \(\widetilde{\alpha }\left(t\right)=\left({\sum }_{n}^{ }\frac{1}{\sqrt{{\left|{\alpha }_{ n}\right|}^{2}+{\left|{\beta }_{n}\right|}^{2}}}{\alpha }_{n}{e}^{i{\omega }_{n}t}\right)\) und \(\widetilde{\beta }\left(t\right)=\left({\sum }_{n}^{ }\frac{1}{\ sqrt{{\left|{\alpha }_{n}\right|}^{2}+{\left|{\beta }_{n}\right|}^{2}}}{\beta }_ {n}{e}^{i{\omega }_{n}t}\right)\). Dabei bezeichnen \({u}_{1},{u}_{2}\) die Verschiebungen des Granulatzentrums aus seiner Gleichgewichtslage. Das gesamte Verschiebungsfeld wird daher auf der Basis von \({E}_{1}\) und \({E}_{2}\) mit zeitabhängigen komplexen Koeffizienten \(\widetilde{\alpha }\) entwickelt. left(t\right)\mathrm{ und }\widetilde{\beta }\left(t\right)\), wobei \({\alpha }_{n},{\beta }_{n};n= \mathrm{1,2},\dots\) sind die \(n\)-ten komplexen Amplituden der in Abb. 1b identifizierten \(n\)-ten dominanten charakteristischen Frequenz für die zueinander orthogonalen Eigenzustände \({E}_ {1}\) und \({E}_{2}\). Auf dieser Grundlage kann der modale Beitrag zur Modenüberlagerung des Gesamtverschiebungsfelds in Form eines Spaltenverschiebungszustandsvektors \(|\psi \rangle\) geschrieben werden:

Dieses zweistufige Subsystem stellt ein elastisches Bit dar und ist isomorph zu einem Qubit. Dabei sind die Koeffizienten der Überlagerung der Zustände \(\widetilde{\alpha }\left(t\right)\) und \(\widetilde{\beta }\left(t\right)\) zeitabhängig. Konzentrieren wir uns zur Veranschaulichung auf die spezifischen Fahrbedingungen und Systemparameter im linken Bild von Abb. 1b. Wir sehen, dass wir durch Beibehaltung der ersten beiden dominanten charakteristischen Frequenzen finden

Aus dem fft-Diagramm im linken Teil von Abb. 1b sehen wir, dass die Amplitude \({\alpha }_{1}\) der Frequenz \(\omega\) der dominierende Term ist und dem reinen \(\left entspricht |{E}_{1}\right.\rangle\)-Eigenzustand, da bei dieser Frequenz die Phasendifferenz nahezu Null ist (vgl. Abbildung 1c, linkes Feld). Daher ist in Gl. (6) erwarten wir, dass der Koeffizient \(\widetilde{\alpha }\left(t\right)\) im Vergleich zum Koeffizienten \(\widetilde{\beta }\left(t\right)\ dominant sein wird. ), wie auch im linken Teil von Abb. 1d bestätigt wird. In Abb. 1d beobachten wir die Zeitabhängigkeiten der Module der komplexen Amplituden \(\widetilde{\alpha }\left(t\right)\) und \(\widetilde{\beta }\left(t\right). )\), zweier zueinander orthogonaler Zustände \(\left|{E}_{1}\right.\rangle\) und \(\left|{E}_{2}\right.\rangle\). Wenn wir als nächstes zu einer anderen Antriebsfrequenz wechseln, sehen wir in Abb. 1d rechts, dass es möglich ist, die Koeffizienten der kohärenten Überlagerung von Zuständen erheblich zu variieren. Im rechten Teil von Abb. 1d sehen wir, dass für den Fall der Antriebsfrequenz \(\omega =9,05 \mathrm{kHz}\) der Koeffizient \(\widetilde{\beta }\left(t\right)\) dominiert , was aus den rechten Feldern von Abb. 1b, c abgeleitet werden kann, da der Eigenzustand \({E}_{2}\) bei der ersten dominanten charakteristischen Frequenz dominiert. Daher leben die elastischen Bitzustände in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum, und durch die Antriebsparameter können wir den Hilbert-Raum erheblich navigieren. Ein elastisches Bit ist daher ein klassisches Analogon in Bezug auf die Überlagerung eines Qubits – der kritischen Komponente von Quantencomputerplattformen.

Wie in Abb. 1d zu sehen ist, ermöglicht die Zeit dem System, die Überlagerung der durch die beiden Eigenmoden erzeugten Zustände abzustimmen. Daher ist der Zeitablauf gleichbedeutend mit der Anwendung einer einheitlichen Transformation auf die überlagerten Zustände. Um diesen Punkt zu veranschaulichen, konzentrieren wir uns auf den Zeitpunkt \({t}_{1}\), der in Abb. 1d rechts mit (i) gekennzeichnet ist. Für einen solchen Moment verwendet man Gl. (5) kann der modale Beitrag bei der Modenüberlagerung des Verschiebungszustandsvektors wie folgt geschrieben werden:

In der obigen Gleichung ist jedoch \({\alpha }_{1}\ungefähr 0\), da die Phasendifferenz zwischen den Körnern bei der niedrigsten dominanten charakteristischen Frequenz nahe bei \(\pi\) liegt \({\omega } _{D}\), wie in Abb. 1c rechts dargestellt. Daher kann das Amplitudenfeld bei dieser charakteristischen Frequenz durch den Zustand beschrieben werden: \({E}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\end{array}\right)\). Daher kann die Überlagerung von Zuständen wie folgt geschrieben werden:

mit einer geschätzten Unsicherheit von \(\frac{\pi }{20}\) in \(\theta\) und \(\frac{3\pi }{50}\) in \(\phi\), was davon abhängt vom Amplitudenschwellenwert, der zur Auswahl dominanter charakteristischer Frequenzen verwendet wird (vgl. Abbildung 1b). Der Zustand entspricht dem Zeitpunkt \({t}_{1}\) von Abb. 1d. Das rechte Feld (Gl. (7)) ist auch in Abb. 2a auf einer Bloch-Kugel dargestellt. Eine Bloch-Kugel ist ein nützliches Werkzeug zur Visualisierung von Überlagerungszuständen. Es wird eine lineare Kombination der Zustände \(\left|{E}_{1}\right.\rangle\) und \(\left|{E}_{2}\right.\rangle\) mit komplexen Koeffizienten dargestellt durch einen Punkt auf dieser Kugel (Abb. 2a). In ähnlicher Weise entspricht der Zustand dem Zeitpunkt \({t}_{2}\) in Abb. 1d im rechten Feld (beschriftet mit (ii)) und kann auch wie folgt geschrieben werden:

und der Zustand ist in Abb. 2b wiederum auf einer Bloch-Kugel dargestellt. Ein Hadamard-Gatter „dreht“ den Anfangszustand von Gl. (7) (bezeichnet mit (i)), der nahezu ein reiner Zustand \(\left|{E}_{2}\right.\rangle\) ist, in einen Überlagerungszustand der Form Gl. (8) (beschriftet mit (ii)) durch die Transformation:

Klassisches Analogon des Hadamard-Tors auf der Bloch-Kugel. Das Hadamard-Gatter „dreht“ den anfänglichen reinen Zustand von \(\left|{E}_{2}\right.\rangle\) (a) (in Abb. 1d rechts auch mit (i) bezeichnet) zu einer Überlagerung von Zustände (b) (in Abb. 1d rechts auch mit (ii) bezeichnet) durch eine einheitliche Transformation \(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\).

Die Transformationsmatrix \(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\) ist das übliche Hadamard-Gatter41 . Wenn wir das Hadamard-Gatter auf den Zustand (ii) anwenden, kehren wir zum ursprünglichen reinen Zustand \(\left|{E}_{2}\right.\rangle\) zum Zeitpunkt \({t}_{3) zurück }\) (beschriftet mit (iii)).

Wir haben die Herstellung und Manipulation eines klassischen Analogons zu einer Quantenüberlagerung von Bloch-Zuständen über ein kontrollierbares, im Wesentlichen nichtlineares granulares System demonstriert. Im aktuellen Aufbau wird eine nichtlineare Wechselwirkung vom Hertz-Typ zwischen Körnchen durch harmonische Ansteuerung des Körnchensystems induziert. Indem wir die Schwingungsmodi der Körnchen auf einer linearen Normalmodus-Orthonormalbasis ausdrücken, haben wir gezeigt, dass wir eine klassische Wellenfunktion erstellen können, die aus einer Überlagerung von Energiezuständen besteht. Darüber hinaus sind die Amplituden der kohärenten Zustände komplex. Ein bemerkenswertes Merkmal der aktuellen Studie ist, dass klassische Wellenfunktionen, da sie Amplituden sind, bei der Messung nicht wie Quantenwellenfunktionen (Wahrscheinlichkeitsamplitude) zusammenbrechen. Wir haben verschiedene Möglichkeiten zur Manipulation der komplexen Amplitudenkoeffizienten dieser kohärenten Zustandsüberlagerungen durch Variation der externen Treiberparameter untersucht. Da das betrachtete granulare System nichtlinear ist, haben wir beobachtet, dass nicht nur die Frequenz des externen Treibers ein wesentlicher Parameter für die Navigation durch die komplexen Amplituden der Überlagerung von Zuständen ist, sondern auch die Amplitude des externen Treibers. Ein unterscheidendes und wichtigstes Merkmal der aktuellen Studie im Vergleich zu Arbeiten42 in einem linearen System besteht darin, dass die Autoren in der vorherigen Studie zeigten, dass der Modul der komplexen Amplituden der Überlagerung von Zuständen nur durch Variation der Amplituden des Äußeren abgestimmt werden konnte Treiber. Um die Phase der komplexen Amplituden der Überlagerung von Zuständen anzupassen, änderten die Autoren die Phase des externen Treibers42. Im Gegensatz dazu haben wir in der aktuellen Arbeit gezeigt, dass es möglich ist, sowohl den Modul als auch die Phase der kohärenten Überlagerung abzustimmen, da es sich bei dem granularen System um ein im Wesentlichen nichtlineares System handelt, indem man entweder die Frequenz oder die Amplitude des externen Treibers abstimmt Zustände. Daher ist die nichtlineare Elastizität ein potenzieller Entwurfsparameter zur Erweiterung des Bereichs der elastischen Überlagerung von Zuständen, die über einen externen Treiber untersucht werden können. Darüber hinaus haben wir auch beobachtet, dass die Koeffizienten der komplexen Amplituden zeitabhängig sind. Wenn der externe Treiber verwendet wird, um die beiden orthogonalen Zustände des nichtlinearen granularen Systems in eine kohärente Überlagerung zu bringen, befinden sie sich in einem Überlagerungszustand mit der zeitlichen Entwicklung. Nach einer vollen Periode verschwinden die Überlagerungszustände und die mechanischen Moden werden zu reinen Eigenzuständen.

Wir haben gezeigt, wie man die kohärenten Zustände zeitlich manipulieren kann, ohne die Amplituden und Frequenz des externen Treibers anzupassen, was der Anwendung von Gate-Operationen entspricht. Insbesondere haben wir uns auf das Hadamard-Gatter konzentriert, eine Einzel-Qubit-Operation im Quantencomputing. Quantengatter auf einem Josephson-Kontakt-Qubit werden durch elektromagnetische Impulse ausgeführt, die mit Mikrowellenfrequenzen 43 an die Qubits gesendet werden. Im Gegensatz dazu ermöglicht die Zeit in unserem nichtlinearen klassischen System die parametrische Erforschung der Überlagerungszustände, d. h. der Frequenz und Amplitude des externen Treibers und eine bestimmte Dauer bestimmen den Drehwinkel der Überlagerung von Zuständen um eine bestimmte Achse der Bloch-Kugel. Die vorbereiteten und transformierten Zustandsüberlagerungen sind klassischer Natur und ermöglichen eine experimentelle Analyse (Vorbereitung, Manipulation und Beobachtung) ohne die zusätzlichen Quantengatteroperationen, die in einem echten Quantenalgorithmus erforderlich sind. Man kann beispielsweise mit stabilen, nicht dekohärenten, direkt messbaren, kohärenten Überlagerungen von Zuständen des elastischen Bitsystems operieren, ohne dass die Wellenfunktion zusammenbricht. In einem echten Quantenalgorithmus wirken die Logikgatter jedoch auf eine Überlagerung von Qubit-Zuständen ein, um einen vorhersagbaren Ausgangszustand zu erzeugen. Aufgrund der probabilistischen Natur der Quantenwellenfunktion sind daher viele Messungen erforderlich, um eine Quantenüberlagerung von Zuständen zu bestimmen.

Schließlich konzentriert sich die aktuelle Arbeit unter Verwendung eines Zwei-Granulat-Systems auf ein einzelnes zweistufiges elastisches Bit analog zu einem einzelnen Qubit. Darüber hinaus wurde theoretisch nachgewiesen, dass abhängig von der unterschiedlichen geordneten Anordnung der Körnchen das Drei-Körnchen-System vier nichtlineare Normalmoden (NNMs) und das Vier-Körnchen-System acht NNMs unterstützt 44,45. Daher ist es möglich, diese Arbeit zu erweitern, um analoge mehrstufige Quantenzustände wie Qudits zu erzeugen. Darüber hinaus ist die Kopplung mehrerer elastischer Bits durch klassische Verschränkung, genauer gesagt durch Nichttrennbarkeit, von entscheidender Bedeutung für die Implementierung von Informationsverarbeitungsplattformen, die die exponentielle Komplexität annehmen können, die mit der Nichttrennbarkeit von Zuständen in gekoppelten Systemen verbunden ist. In dieser Richtung werden weitere zukünftige Arbeiten die Möglichkeit untersuchen, eine Nichttrennbarkeit zwischen verschiedenen möglichen Freiheitsgraden in einem gekoppelten granularen System zu erreichen. Beispielsweise haben wir in46 gezeigt, dass die Moden eines gekoppelten granularen Netzwerks über und entlang des Netzwerks zerlegt werden können, wodurch eine orthonormale Basis für zwei zweidimensionale Hilbert-Räume entsteht. Dies ist analog zu zwei Qubits; Somit wird die Schaffung von kontrollierten NOT-Gattern mit zwei Qubits möglich sein. Es ist wahr, dass in einem solchen Umfeld die Zeit die parametrische Untersuchung der Überlagerung von Bloch-Zuständen ermöglichen wird. Daher könnte die Erstellung einer Sequenz von analogen Gattern mit einem oder zwei Qubits eine Herausforderung darstellen, da, wie in47 beschrieben, die Kaskadierung zweier einheitlicher Transformationen in einem harmonischen Quantenoszillator eine neue Transformation mit unabhängigen Eigenwerten erzeugt. In einem gekoppelten Granulatsystem kann die Kopplung jedoch durch die Auswahl von Materialien und Herstellung leicht manipuliert und angepasst werden, um starke Korrelationen zwischen den Subsystemen herzustellen. Daher können wir Vorgänge erstellen, die ausgeführt werden können, ohne sie in eine Reihe kleinerer Schritte zu zerlegen.

Die schematische Darstellung zur experimentellen Realisierung der klassischen zeitabhängigen Überlagerung von Zuständen ist in Abb. 3 dargestellt. Hier versuchen wir, die Reaktion zweier kontaktierender Körnchen (Edelstahl 304: McMaster-Carr 9291K54, \(1/2\)) experimentell zu untersuchen. Zolldurchmesser, Elastizitätsmodul \(193 \mathrm{GPa}\) und Dichte \(7958\) \(\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^{3}\)), die anfänglich in Kontakt sind miteinander. Ein einzelner Wandler (V133-RM – Olympus IMS) treibt das System an einem Ende an. Über PD200-Verstärker (PD200 ist ein linearer Verstärker mit hoher Bandbreite und geringem Rauschen) ist der Antriebswandler mit einem Wellenformgenerator (B&K Precision 4055B) gekoppelt. Der Wellenformgenerator ist so eingestellt, dass er die Antriebsfrequenz im System in einer festen Anregungsamplitude variiert. Die Wandler und Körnchen sind Mitte an Mitte verbunden, um die Reaktion in perfekter Ausrichtung zu erfassen. Um das im System erzeugte Signal zu messen, werden die drei Aufzeichnungswandler an ein Tektronix-Oszilloskop (MDO3024) angeschlossen und über 256 Zeitreihen gemittelt, was zu den Antwortsignalen führt. Sowohl die Wellenformgeneratoren als auch die Oszilloskope sind an digitale Computer angeschlossen, sodass die Experimente gesteuert und die Daten verarbeitet werden können. Dies geschieht mit einem benutzerdefinierten Algorithmus, der in der Programmiersprache MatLab erstellt und implementiert wird. Der Versuchsaufbau ist darauf ausgelegt, nur Longitudinalmoden im System zu untersuchen. Durch die Begrenzung der Translationsbewegung des Granulatsystems war es experimentell möglich, die rotierenden Freiheitsgrade der Granulatkörner aufgrund ihrer geringen relativen Verschiebung zu vernachlässigen. Durch die Wandler sind wir in der Lage, das Amplitudenfeld der Granulatkörner in Querrichtung zu messen, was das elastische Feld der Longitudinalmoden abbildet. Die Verwendung von D12-Ultraschallkoppler (Geltyp von Olympus-IMS) in Verbindung mit den Longitudinalwellenwandlern unterdrückt alle nichtlongitudinalen Moden (Torsion, Transversal usw.) des Granulats. An beiden Enden des Systems wird mit einem Schraubstock eine gleichmäßige Druckkraft \({F}_{0}\) bereitgestellt, um die anfängliche Verschiebung \({\delta }_{0}\) zwischen den Granulatzentren zu fixieren ( Abb. 3).

Experimentelle Realisierung zeitabhängiger Überlagerung von Zuständen. Schematische Darstellung der experimentellen Instrumentierung, die für das nichtlineare Zwei-Granulat-System verwendet wird. Das System wird von einem einzelnen Wandler an einem Ende in Längsrichtung angetrieben, und eine Reihe von Wandlern wird verwendet, um die Längsmoden der Körnchen zu erfassen.

Dementsprechend lautet der allgemeine mathematische Ausdruck des nichtlinearen granularen Systems (Abb. 3), beschränkt auf 1D:

Im theoretischen Modell (10) vernachlässigen wir die Auswirkungen der Schwerkraft; Allerdings wird der dissipative Effekt berücksichtigt, da Dissipation ein integraler Bestandteil jedes physikalischen Systems ist. In Gl. (10), \({\left(\alpha \right)}_{+}=\alpha\,\, \mathrm{für} \,\,\alpha \ge 0\) und \({\left( \alpha \right)}_{+}=0 \,\,\mathrm{für}\,\, \alpha <0\) und \(H\left(\cdot \right)\) ist die Heaviside-Funktion. Das statische Hertzsche Gesetz, das davon ausgeht, dass die charakteristische Zeitskala der Hertzschen Wechselwirkung zwischen Granulat und Granulat unter Kompression deutlich höher ist als die charakteristische Zeitskala der Ausbreitung elastischer Spannungswellen innerhalb eines Granulats, wurde experimentell für dynamische Probleme kugelförmiger Granulatkörner verifiziert 48 . Hier ist \({k}_{NL}=\frac{E\sqrt{2R}}{3\left(1-{\nu }^{2}\right)}\), \(m=\ frac{4}{3}\pi {R}^{3}\rho\) ist die Masse des Granulats, \(R\) ist der Radius und \(\rho\) ist die Dichte des Granulatmaterials. Der Dämpfungskoeffizient \(\eta\) modelliert die Dissipation während Hertzscher Wechselwirkungen zwischen benachbarten Körnern. Die statische Überlappung \({\delta }_{0}\) aufgrund der aufgebrachten statischen Last simuliert die angewendete Vorkompression des Systems, skaliert durch den Radius der gemeinsamen Körnchen und die periodische Grundanregung \(A\mathrm{sin }\left({\omega }_{D}t\right)\) wird auf die erste Masse des Systems angewendet, um die vom Anregungswandler gelieferte Anregung zu modellieren.

Wenn wir eine Potenzreihenentwicklung der Kräfte von Gl. (10) und bei dynamischen Verschiebungen deutlich kleiner in der Amplitude als die statische Überlappung \({\delta }_{0}\), also \(\frac{\left|\Delta u\right|}{ {\delta }_{0}}\ll 1\), wobei \(\Delta u={u}_{1}-{u}_{2}\) oder \(\Delta u=A\mathrm{ sin}\left({\omega }_{D}t\right)-{u}_{1}\) oder \(\Delta u={u}_{2}\), in Gl. (10) bleibt nur der harmonische Term der Entwicklung erhalten. Daher kann das granulare System als lineares Gitter betrachtet werden, und die Bewegungsgleichungen werden auf reduziert49,50:

Dabei ist \({k}_{L}=\frac{3}{2}{k}_{NL}{\delta }_{0}^{1/2}\) die äquivalente lineare Federkonstante. Die Schallgeschwindigkeit eines solchen eindimensionalen monoatomaren Granulatsystems wurde experimentell bestätigt 51. Da die Kopplungssteifigkeit von Gl. (11) linear ist, sollten die Eigenzustände des linearisierten granularen Systems \({E}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\ \ 1\end{array}\right)\) und \({E}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ - 1\end{array}\right)\); die entsprechenden Inphase- und Out-of-Phase-Modi. Diese orthogonalen Zustände schließen sich gegenseitig aus. Infolgedessen können wir für ein linearisiertes granulares System mit Vorhandensein eines externen Treibers das Verschiebungsfeld ähnlich wie in Gleichung schreiben. (3) wie folgt:

Für ein linearisiertes granulares System können die Amplituden \(\alpha\) und \(\beta\) theoretisch als \(\alpha =\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\left geschätzt werden (\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\right)}{m{\ omega }_{1}^{2}-\mathrm{m}{\omega }^{2}-i\eta \omega }\) und \(\beta =\frac{\frac{1}{\sqrt {2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}A\\ 0\end{array}\ rechts)}{m{\omega }_{2}^{2}-{m\omega }^{2}-i\eta \omega }\), wobei \({\omega }_{1}\) und \({\omega }_{2}\) sind die Eigenfrequenzen der Inphase- und Out-of-Phase-Moden der Eigenvektoren des linearisierten granularen Systems. Daher ist es über einen externen Treiber möglich, ein zweistufiges akustisches Analogon eines Qubits zu erzeugen. Diese kohärenten Zustände sind jedoch zeitunabhängig, da die Zeit die Amplituden der einzelnen kohärenten Zustände nicht explizit beeinflusst.

Wenn das Granulatsystem schwach komprimiert ist und die Granulatverschiebungen entweder vergleichbar oder größer sind als die anfängliche relative Verschiebung \({\delta }_{0}\), die sich aus der statischen Kompression ergibt, dann entwickelt sich für ein solches ein sehr interessantes Wellenverhalten nichtlineares Regime. Bei eindimensionalen monoatomaren körnigen Kristallen hat dieser dynamische Bereich die meiste Forschungsaufmerksamkeit erhalten49,52,53. Insbesondere in den Referenzen 44,45,54,55. Die Autoren zeigten, dass solche nichtlinearen Systeme stehende Moden (sogenannte nichtlineare Normalmoden) und zahlreiche subharmonische Reaktionen besitzen, die allgemeine \(m:n\) rationale Granulatfrequenzbeziehungen erfüllen. Beachten Sie, dass sich die Autoren in diesen Studien auf ein konservatives System konzentriert haben. In der Praxis muss die Verlustleistung berücksichtigt werden.

Die Daten, die unsere Ergebnisse der vorliegenden Studie stützen, sind auf begründete Anfrage beim jeweiligen Autor erhältlich.

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Fakultät für Maschinenbau, Wayne State University, Detroit, MI, 48202, USA

Kazi T. Mahmood & M. Arif Hasan

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MAH hatte die Idee für die Forschung. KTM entwarf und baute den Versuchsaufbau und führte die Messungen durch. Alle Autoren analysierten die experimentellen Daten und trugen zur wissenschaftlichen Diskussion und zum Verfassen des Manuskripts bei.

Korrespondenz mit M. Arif Hasan.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Mahmood, KT, Hasan, MA Experimentelle Demonstration der klassischen analogen zeitabhängigen Überlagerung von Zuständen. Sci Rep 12, 22580 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-27239-y

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Eingegangen: 15. September 2022

Angenommen: 28. Dezember 2022

Veröffentlicht: 30. Dezember 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-27239-y

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